Ausführungen zum Mathematischer Exkurs III

Das arithmetische Mittel als Ausgleichungsaufgabe

Zunächst sei darauf hingewiesen, dass für dieses Dokument ebenfalls die Konventionen der Seite Mathematischer Exkurs III gelten, ohne dass sie hier wiederholt werden.

Eine Eigenschaft eines Objekts (z. B. die Länge einer Strecke) wird durch unabhängige Messungen m mal ermittelt. Überschreitet die Ablesegenauigkeit die Messgenauigkeit, so erhält man in der Regel nicht stets den gleichen Messwert, jedoch ist jeder Messwert Repräsentant der gesuchten Größe (im Folgenden mit x bezeichnet), d. h. es ist

x = b1 ,
x = b2 ,
... ,
x = bm .

Damit liegt eine Ausgleichungsaufgabe nach vermittelnden Beobachtungen in der Form A x = b vor, wobei die Koeffizientenmatrix und die beteiligten Vektoren folgende Gestalt besitzen:

A = (1, 1, ..., 1)T   (einspaltige Matrix)
x = (x)   (einzeiliger Spaltenvektor)
b = (b1, b2, ..., bm)T   (Spaltenvektor)

Damit ist

AH A = AT A = (m)   (1×1-Matrix)

und

AH b = ([b])   (einzeiliger Spaltenvektor),

was zu einer einzigen Normalgleichung

m x = [b]

führt, woraus unmittelbar

x = [b] / m

folgt, was das arithmetische Mittel der m Werte b1, b2, ..., bm ausdrückt.


Zurück zur Hauptseite Erstellt von Wolfgang Volk im September 2004
Zuletzt korrigiert am 11. September 2009

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